Exponenciális eloszlás

Kedd kora délután Penny Sellmore az ebédét fogyasztja  a gépe mellett, amikor Brian Taylor, a CMO, betoppan:

“Penny automatizálni akarjuk a retargeting e-maileket, de ne zaklassuk az ügyfeleket. Használd az átlagos két vásárlá között eltelt időt, és időzítsük az első emlékeztetőt optimálisan!”

Penny összeexcelezi a két vsárlás között eltelt adatokat, exponenciális eloszlást illeszt (λ = 1/átlag), és 15 napra állítja be az első e-mailt. A visszatérő vásárlók aránya 22%-kal emelkedik.

Nézzük, mi az exponenciális eloszlás és mikor használhatod a marketingben.

0. Az exponenciális disztribúció fogalma

Memóriamentes, egyszerű folytonos eloszlás az események közti várakozási idők modellezésére, paramétere λ.

1. Miért jó?

• Memóriamentes: a jövőbeli esemény bekövetkezésének esélye nem függ a múlttól („ha már régóta várunk, ugyanakkora eséllyel történik meg most”).

• Egyszerű paraméterezés: csak egyetlen paramétere van (λ(lambda)), az esemény rátája), könnyen becsülhető.

• Gyakori modell: időközök, élettartamok és reakcióidők modellezésére ideális, ha az esemény folyamatos, és „véletlenszerű” előfordulások jellemzik.

2. Hogyan számítható?

• Paraméter:

  λ>0\lambda > 0λ>0 (átlagos eseményszám egységnyi idő alatt).

• Sűrűségfüggvény (PDF):

  f(x) = λ * exp(–λ * x),    x ≥ 0

• Eloszlásfüggvény (CDF):

  F(x) = 1 – exp(–λ * x)

• Várható érték:

  E(X) = 1 / λ

• Szórás:

  SD(X) = 1 / λ

3. Mikor használd?

• Időközök modellezése: események közti várakozási idők (pl. következő vásárlásig eltelt idő).

• Churn-elemzés: ügyfél lemorzsolódásaig eltelt idő becslése egyszerű esetben.

• Üzemi megbízhatóság: készülékek meghibásodásáig tartó idő modellezése.

• Queueing theory: kiszolgálási idők és érkezési időközök vizsgálata.

4. Marketing-példák

• Time-to-First-Purchase: új regisztrált felhasználó első vásárlásáig eltelt napok.

• Interpurchase Time: visszatérő vásárlók között eltelt idő.

• Customer Lifetime (rövid távú): ha a churn „véletlenszerű”, exponenciális idővel.

• E-mail resend interval: mennyi idő után érdemes újraküldeni az e-mailt a válasz nélküli címzetteknek.

5. Case Study: interpurchase time szimuláció

1. Adatok

   Történelmi vásárlások alapján a vásárlások közti átlagos idő E(X)=30E(X)=30E(X)=30 nap. Tehát λ=1/30≈0.0333\lambda = 1/30 ≈ 0.0333λ=1/30≈0.0333.

2. Számítás

   1. PDF:

      f(x) = 0.0333 * exp(–0.0333 * x)

   2. Valószínűség, hogy a következő vásárlás 15 napon belül történik:

      P(X ≤ 15) = 1 – exp(–0.0333 * 15) ≈ 0.3935 (39.4%)

   3. 90%-os kvantilis (mikortól érkezik 90%-ban a következő vásárlás):

      x90 = –ln(1–0.9) / 0.0333 ≈ 69 nap

3. Üzleti következtetés

   1. Ha 15 napon belüli visszatérés a cél, új retargeting e-mailt 15 nap után küldjünk.

   2. A 90%-os küszöb (69 nap) környékén érdemes speciális ajánlatot adni, hogy a későn visszatérőket is aktiváljuk.

6. Mikor ne használd?

• Nem memóriamentes folyamatoknál (ha a korábbi várakozás befolyásolja a jövőt).

• Több csúcs vagy multimodális időközök esetén (ha van rövid, közepes és hosszú intervallum is).

• Ha az események időközei fix időhöz köthetők vagy determinisztikusak.

• Ha a variancia nem egyenlő az átlaggal (exponenciálisnál SD = átlag), de az adatoknál ez nem áll fenn.

7. Milyen üzleti kérdésekre adhat választ?

• A churn-elemzésnél mennyi az esélye, hogy egy új előfizető 30 napon belül kilép, ha átlagosan 60 nap?

• Ha 15 nap után retargeting e-mailt szeretnél küldeni, hogyan segít a memóriamentes modell?

• A support azt kérdezi tőled, mekkora eséllyel zárnak le egy ticketet 2 órán belül – exponenciálissal modellezzük?

• Milyen marketingautomatizálási várakozási időket állítasz be a következő e-mailre?

• A CRM-be beállított churn-küszöb (x nap) hogyan jön ki az exponenciális 90%-os kvantilisből?