Binominális eloszlás

Szerda reggel Jennifer Thompson a HR-standup után a kávéautomatánál áll sorba, amikor Karen White, a HR Director futtában odakiált:

“Jennifer, szeptemberben legalább 7 új kollégát kell felvennünk, ha 80%-os az ajánlat elfogadási rátánk. Hány jelöltet hívjunk be?”

Jennifer a kávét letéve a binomiális képlethez nyúl, kiszámolja, hogy 12 behívott jelölttel van a legnagyobb biztonság a 7 hire eléréséhez. Karen megnyugszik, és nem aggódik többé a toborzási csúszás miatt.

Nézzük, mi a binominális disztribúció, és hogyan segít a HR-ben és a marketingben.

0. Mi a franc az a binominális eloszlás?

Diszkrét eloszlás ismétlődő független siker/sikertelenség kísérletek számára, paraméterei n (kísérletek) és p (siker).

1. Miért jó?

• Egyszerű modell: két lehetséges kimenet (siker vs. sikertelenség) ismétlődő kísérleteire ad egyértelmű keretet.

• Értelmezhető paraméterek: n (kísérletek száma) és p (siker valószínűsége) közvetlenül meghatározhatók.

• Számítható képlettel: zárt formájú összefüggés, nem kell nagy mintákat szimulálni.

• Alapmodell: sok komplexebb valószínűségi modell épít erre az egyszerű szerkezetre.

2. Hogyan számítható?

• Paraméterek:

  • n = megismételt kísérletek száma

  • p = siker valószínűsége egy kísérletben

• Valószínűség pontosan k sikerre:

  • P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1–p)^(n–k)

  • ahol C(n, k) = n! / (k! * (n–k)!)

• Halmozott eloszlás (max. vagy min. kimenetek):

  • P(X ≤ k) = Σ [i=0→k] C(n, i)*p^i*(1–p)^(n–i)

  • P(X ≥ k) = Σ [i=k→n] …

3. Mikor használd?

• Bináris események ismétlődő, független kísérleteihez.

• Konverziós arány becslése marketingben: kattintás, vásárlás, regisztráció.

• Minőségi ellenőrzés: hibás termékek száma egy minta méretben.

• A/B-teszt: nyertes verzió sikerarányának statisztikai vizsgálata.

4. Marketing-példák

• E-mail kampány: ha 1 000 e-mailt küldesz és p=0,2 az átkattintási arány, mi a valószínűsége, hogy 150-200 kattintásod lesz?

• Hirdetés: 100 megjelenésből p=0,05 kattintási arány, mi az esélye, hogy legalább 10 kattintás legyen?

• Lead generálás: 50 potenciális ügyfélből p=0,3-es konverzióval hány új ügyfelünk lesz?

5. Case Study: 10 ajánlat és 80 % elfogadás

Feladat: 10 munkavállalónak írt ajánlatból p=0,8-át elfogadják.

1. n = 10, p = 0,8

2. P(5–7 elfogadás) = P(5) + P(6) + P(7)

   1. P(5) = C(10,5)*0.8^5*0.2^5 ≈ 0.0264 

   2. P(6) ≈ 0.0881

   3. P(7) ≈ 0.2014

3. Összesen ≈ 0.316 → 31.6 %

6. Mikor ne használd?

• Ha kísérletek nem függetlenek (korrelált válaszok).

• Ha p változik minden kísérletben (pl. tanulási effektus).

• Ha több kimenet van, nem csak siker/sikertelenség (multinomiális kell).

• Ha a mintaszám nagyon kicsi és a p szélsőséges (0 vagy 1 felé), instabil lehet a becslés.

7. Milyen üzleti kérdésekre adhat választ.

• Ha 1 000 e-mailt küldesz p=0,2 átkattintási aránnyal, mekkora az esélye, hogy legalább 150 kattintás lesz?

• A sales várja, hogy 100 meghívottból 30 jön el – ha p=0,3, hány ember jön meg nagy valószínűséggel?

• Az A/B tesztnél mekkora a valószínűsége, hogy a B verzióban legalább 5%-kal jobb lesz a konverzió?

• Ha 10 000 SMS-t küldesz és p=0,05 a válaszarány, mikor lesz az 500 válasz ±10%-on belül van?

• Hogyan határoznád meg, hány próbát küldj a pilot kampányban, hogy 95%-os konfidenciájű legyen a p=0,1 körüli arányt ±2%-os pontossággal?